TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 350

A frequência de Larmor e o efeito Zeeman normal (tratamento clássico)[editar | editar código-fonte]

A precessão do vetor momento angular num campo magnético.

Consideremos o efeito de um campo magnético fraco em um electrão em movimento circular numa órbita planar.

Assumindo que o campo magnético é aplicado ao longo do eixo z e o momento angular é orientado num ângulo θ com respeito ao eixo z, conforme mostrado na figura ao lado.^[2]

O torque agindo sobre

{\vec {I}}

é dado por

{\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}={\vec {\mu }}\wedge {\vec {B}}

x

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, E OUTROS.

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.
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este é direcionado para o plano da página, na direção de ф.

Agora, o torque também é igual a taxa de variação do momento angular, então nós temos

{\vec {\tau }}_{{l}}={\frac {d{\vec {l}}}{dt}}=\mu _{{i}}\wedge {\vec {B}}=\gamma _{{l}}{\vec {l}}\wedge {\vec {B}}

(X)

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
ΤDCG
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Mas

|d{\vec {l}}|=l.\operatorname{sen} \theta .d\phi

Então a forma escalar da Equação (X) torna-se

l.\operatorname{sen} \theta .{\frac {d\phi }{dt}}=\gamma _{{l}}.l.B.\operatorname{sen} \theta

(Z)

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
ΤDCG
X
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Definindo a velocidade precessional pela relação:

\omega _{{L}}={\frac {d\phi }{dt}}

x

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
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De modo que Eq (Z) torna-se

\omega _{{L}}=\gamma _{{l}}B={\frac {e}{2m}}B

x

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
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A velocidade angular

\omega _{{L}}

é chamada a freqüência de Larmor.

Assim, o vetor momento angular realiza movimento de precessão em torno do eixo z na freqüência Larmor como resultado do torque produzido pela ação de um campo magnético sobre o seu momento magnético associado.

Usando a relação de Planck, a energia associada com a frequência de Larmor é

\Delta E=\pm \omega _{{L}}\hbar =\pm {\frac {e\hbar B}{2m}}=\pm \mu _{{B}}B

(Y)

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
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onde os sinais se referem ao sentido de orientação. Será observado que esta diferença de energia é a energia potencial de um dipolo magnético cujo momento é um magnetão de Bohr.

A energia dipolar é dada pela relação

\Delta E=-{\vec {\mu }}.{\vec {B}}

Na (Y), o sinal positivo corresponde ao alinhamento antiparalelo enquanto o sinal negativo (menor energia) indica alinhamento paralelo.^[2]

O efeito geral desta energia associada com a freqüência de Larmor é que, se a energia de um electrão tendo um momento

{\vec {\mu }}_{{B}}

E_{{o}}

na ausência de um campo aplicado, então num campo magnético

\vec{B}

ele pode assumir uma das energias

E_{{0}}\pm \mu _{{B}}B

x

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
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Transições com e sem campo magnético

Assim, numa coleção de partículas atómicas idênticas do tipo discutido, um campo magnético produz um tripleto de níveis, chamado um tripleto de Lorentz cujas energias são

E_{{0}}

E_{{0}}\pm \mu _{{B}}B

x

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
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Este fenômeno é conhecido como efeito Zeeman normal.

O efeito Zeeman é, na verdade, mais complexo do que foi apresentado no tratamento clássico. O spin do elétron é excluído no modelo clássico.

Assim, quando um campo magnético é aplicado os momentos angulares orbital e de spin realizarão movimento de precessão.

As separações do nível energético resultantes não podem ser explicadas classicamente e assim requerem um tratamento de mecânico quântico. Como consequência deste comportamento inexplicável, o efeito Zeeman mais geral, incluindo spin foi historicamente designado erradamente como o efeito Zeeman anómalo.

Hamiltoniano[editar | editar código-fonte]

O hamiltoniano total de um átomo em um campo magnético é:

H=H_{0}+H_{1}=H_{0}+\sum _{\alpha }\xi ({\vec {r_{\alpha }}}){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}-\sum _{\alpha }{\vec {\mu _{{\alpha }}}}\cdot {\vec {B}}

x

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onde

H_0

é o Hamiltoniano não perturbado do átomo, e os somatórios sobre α são somatórios sobre os elétrons do átomo. O termo

\xi ({\vec {r_{\alpha }}}){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}

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é a junção LS para cada elétron (indexado por α). O somatório desaparece se há apenas um elétron. A ligação do campo magnético

{\vec {\mu _{{\alpha }}}}\cdot {\vec {B}}={\frac {\mu _{{B}}}{\hbar }}(g_{L}{\vec {L}}+g_{S}{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}

x

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é a energia devida ao momento magnético μ do α-ésimo elétron. Ele pode ser escrito como somatório das contribuições do momento orbital angular e do momento angular de spin, com cada um multiplicado pelo fator g de Landé. Projetando o vetor quantidades no eixo z, o hamiltoniano pode ser escrito como

H=H_{0}+\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}+\mu _{B}(g_{L}L_{z}+g_{s}S_{z})B_{z}\approx H_{{at}}+{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}(J_{z}+S_{z})B_{z}

x

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onde a aproximação resulta do fator g como

g_{L}=1

and

g_{S}\approx 2

. O somatório sobre os elétrons foi omitido. Aqui,

J_{z}=L_{z}+S_{z}

é o momento angular total, e a junção LS foi agrupada em

H_0

. O tamanho do termo interação H ' não é sempre pequeno, e pode induzir grandes efeitos no sistema. No efeito Paschen-Back, H ' não pode ser tratado como uma perturbação, já que sua magnitude é comparável (ou até maior) que o sistema

H_{{at}}

. O termo H ' não comuta com

H_{{at}}

. Em particular,

S_{z}

não comuta com a interação spin-órbita em

H_{{at}}

O fator g de Landé[editar | editar código-fonte]

O momento magnético total não é colinear com o momento angular.

As contribuições orbital e de spin para o momento magnético são dadas por

{\vec {\mu }}_{{l}}={\frac {g_{{l}}.e}{2m_{{o}}}}.{\vec {L}}=-g_{{l}}.\mu _{{B}}{\sqrt {l(l+1)}}.{\hat {l}}

{\vec {\mu }}_{{s}}={\frac {g_{{s}}.e}{2m_{{s}}}}.{\vec {S}}=-g_{{s}}.\mu _{{B}}{\sqrt {s(s+1)}}.{\hat {s}}

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Onde

g_{{l}}=1\;e\;g_{{s}}=2,004\approx 2

Agora, quando

{\vec {L}}\;e\;{\vec {S}}

combinam, temos

{\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}\;e\;{\vec {\mu }}={\vec {\mu }}_{{l}}+{\vec {\mu }}_{{s}}

{\vec {\mu }}={\frac {\mu _{{B}}}{\hbar }}({\vec {L}}+2{\vec {S}})

x

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É evidente a partir das expressões para

{\vec {J}}\;e\;{\vec {\mu }}

que o momento magnético total não é, em geral, colinear com o momento angular total, conforme ilustrado na Figura

Dado que

{\vec {L}}\;e\;{\vec {S}}

precessiona em torno de

{\vec {J}}

é aparente que

{\vec {\mu }}

também precessiona em torno de

{\vec {J}}

No entanto, o momento magnético eficaz, isto é a componente de

{\vec {\mu }}

ao longo de

{\vec {J}}

mantém o valor constante,

[Expandir]Demonstração

Definimos o fator g de Landé como

g=1+{\frac {j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}}

(Z)

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
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E o momento magnético efetivo torna-se

|\mu _{{j}}|=g.\mu _{{B}}{\sqrt {j.(j+1)}}

Para spin zero, a equação (Z) reduz-se ao caso clássico de g = 1 e para l = 0, g = 2. Agora estamos em uma posição para incluir o denominado efeito Zeeman anômalo.

O momento magnético correspondente ao longo da direção do campo, considerado como a direcção do eixo z, será então

\mu _{{z}}-g.\mu _{{B}}.m_{{l}};

tendo uma energia dipolar magnética :

E=g.m_{{j}}\mu _{{B}}B

x

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No caso de clássico, g = 1, mas na Equação acima, g depende dos números quânticos l, s e j.

Num campo magnético

{\vec {B}}

, tal que

\mu _{{B}}B

é menor do que a energia de spin-órbita, j e

m_{{j}}

são bons números quânticos e as energias dos estados se desdobram como mostrado na tabela a seguir.

Assim, o denominado efeito Zeeman "anómalo" é o que normalmente seria de esperar de um electrão tendo spin semi-inteiro em um campo magnético fraco.

O efeito Zeeman "normal" ou clássico não pode ocorrer para um único electrão em um campo magnético fraco devido o termo de spin na Eq (Z).

No entanto, nos átomos em que os spin são combinados para que o spin total seja zero, o valor de g para todos os estados espectroscópicos é o valor clássico e apenas três linhas espectrais são observadas.

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sábado, 13 de julho de 2019

O efeito Aharonov–Bohm pode ser visto como um resultado da necessidade da mecânica quântica de ser invariante com respeito à escolha de calibre para o potencial eletromagnético do qual faz parte o vetor potencial magnético A.

A teoria eletromagnética implica que uma partícula com carga elétrica q viajando ao longo de um caminho P em uma região com campo magnético nulo, mas potencial A não-nulo, adquire uma mudança de fase

\varphi

, dada no Sistema Internacional de Unidades por

\varphi ={\frac {q}{\hbar }}\int _{P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x} ,

x

TRANSFORMAÇÕES \Leftrightarrow INTERAÇÕES \Leftrightarrow TUNELAMENTO \Leftrightarrow EMARANHAMENTO \Leftrightarrow CONDUTIVIDADE \Leftrightarrow DIFRAÇÕES \Leftrightarrow ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA \Leftrightarrow transições de estados quântico Δ ENERGIAS, \Leftrightarrow Δ MASSA, \Leftrightarrow Δ CAMADAS ORBITAIS, \Leftrightarrow Δ FENÔMENOS, \Leftrightarrow Δ DINÂMICAS, \Leftrightarrow Δ VALÊNCIAS, \Leftrightarrow Δ BANDAS, E OUTROS. X V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X = ΤDCG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli + DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Portanto, partículas, com os mesmos pontos de partida e chegada, mas que viajam através de duas rotas diferentes vão adquirir uma fase diferente

\Delta \varphi

determinada pelo fluxo magnético

\Phi _{B}

através da área entre os caminhos (pelo teorema de Stokes e

\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B}

), dado por:

\Delta \varphi ={\frac {q\Phi _{B}}{\hbar }}.

x

TRANSFORMAÇÕES \Leftrightarrow INTERAÇÕES \Leftrightarrow TUNELAMENTO \Leftrightarrow EMARANHAMENTO \Leftrightarrow CONDUTIVIDADE \Leftrightarrow DIFRAÇÕES \Leftrightarrow ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA \Leftrightarrow transições de estados quântico Δ ENERGIAS, \Leftrightarrow Δ MASSA, \Leftrightarrow Δ CAMADAS ORBITAIS, \Leftrightarrow Δ FENÔMENOS, \Leftrightarrow Δ DINÂMICAS, \Leftrightarrow Δ VALÊNCIAS, \Leftrightarrow Δ BANDAS, E OUTROS. X V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X = ΤDCG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli + DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Esquema do experimento da fenda dupla na qual o efeito Aharonov–Bohm pode ser observado: eléctrons passam através duas fendas, interferindo em uma tela de observação, com os padrões de interferência deslocados quando um campo magnético B é ligado no solenoide cilíndrico.

Na mecânica quântica a mesma partícula pode viajar entre dois pontos por uma variedade de caminhos. Por isso, essa diferença de fase pode ser observada se colocado um solenoide entre as fendas de um experimento de fenda dupla (ou equivalente). Um solenoide ideal (i.e. infinitamente longo e com uma distribuição perfeitamente uniforme) engloba o campo magnético B, mas não produz nenhum campo eletromagnético fora de seu cilindro, e então a partícula (e.g. um elétron) passando por fora não sente nenhum campo magnético B. Entretanto, existe um potencial vetor de rotacional nulo A fora do solenoide com um fluxo englobado. Então a fase relativa das partículas passando através de uma fenda ou de outra é alterada se a corrente do solenoide estiver ligada ou desligada. Isso corresponde à mudança das franjas de interferência no plano de observação.

O mesmo efeito na fase é responsável pela necessidade de quantização do fluxo em circuitos fechados supercondutores. Essa quantização ocorre porque a função de onda supercondutora deve ter valor único em todos os pontos: sua diferença de fase

\Delta \varphi

em torno de um circuito fechado deve ser um múltiplo inteiro de 2π (com a carga sendo q=2e para o par de elétrons de Cooper), e por isso o fluxo deve ser um múltiplo de h/2e. O quanta de fluxo supercondutor já havia sido previsto anteriormente ao efeito AB, por F. Londo em 1948 usando um modelo fenomenológico.^[11]

A primeira confirmação experimental foi feita por Sadasdasdsad em 1968,^[12]^[13] em um interferômetro de elétrons com um campo magnético produzido por um fio de ferro, e outro trabalho é resumido em Olariu e Papêscu (1984).^[14] Entretanto, autores subsequentes questionaram a validade de vários destes resultados, porque os elétrons podem não ter sido completamente blindados dos campos magnéticos.^[15]^[16] Um experimento no qual um efeito Aharonov–Bohm não-ambíguo foi observado através da completa exclusão do campo magnético do caminho do elétron (com a ajuda de um filme supercondutor) foi feito por Tonomura et al. em 1986.^[17]^[18] O escopo do efeito e suas aplicações continuam a se expandir. Webb et all. (1985)^[19] demonstraram oscilações Aharonov–Bohm em anéis metálicos ordinários, não-supercondutores; para uma discussão, veja Schwarzschild (1986)^[20] e Imry & Webb (1989).^[21] Bachtold et al. (1999)^[22] detectou o efeito em nanotubos de carbono; para uma discussão, veja Kong et al. (2004).^[23]

Efeito elétrico[editar | editar código-fonte]

Assim como a fase da função de onda depende do vetor potencial magnético, ela também depende do potencial escalar elétrico. Construindo uma situação na qual o potencial eletrostático varia entre dois caminhos percorridos por uma partícula, através de regiões com campo elétrico nulo, um fenômeno de interferência Aharonov–Bohm observável devido ao deslocamento de fase foi previsto; mais uma vez, a ausência de um campo elétrico significa que, classicamente, não haveria efeito.

Da equação de Schrödinger, a fase de uma autofunção com energia E vai como

\exp(-iEt/\hbar )

. A energia, entretanto, vai depender do potencial eletrostático V para uma partícula com carga q. Em particular, para uma região com potencial constante V(campo nulo), a energia potencial elétrica qV é simplesmente adicionada a E, resultando em um deslocamento de fase:

\Delta \phi =-{\frac {qVt}{\hbar }},

x

TRANSFORMAÇÕES \Leftrightarrow INTERAÇÕES \Leftrightarrow TUNELAMENTO \Leftrightarrow EMARANHAMENTO \Leftrightarrow CONDUTIVIDADE \Leftrightarrow DIFRAÇÕES \Leftrightarrow ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA \Leftrightarrow transições de estados quântico Δ ENERGIAS, \Leftrightarrow Δ MASSA, \Leftrightarrow Δ CAMADAS ORBITAIS, \Leftrightarrow Δ FENÔMENOS, \Leftrightarrow Δ DINÂMICAS, \Leftrightarrow Δ VALÊNCIAS, \Leftrightarrow Δ BANDAS, E OUTROS. X V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X = ΤDCG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli + DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

aonde t é o tempo gasto dentro do potencial.

A proposta teórica inicial para esse efeito sugeria um experimento no qual cargas passassem por cilindros condutores através de dois caminhos, que blindariam as partículas de campos elétricos externos na região na qual eles viajam, mas ainda permitem um potencial variável a ser aplicado carregando os cilindros. Isso se mostrou difícil de fazer. Ao invés, um experimento diferente foi proposto envolvendo uma geometria de anel interrompida por barreiras tuneláveis, com uma difrença de potencial V relacionando os potenciais das duas metades do anel. Essa situação resultou em um deslocamento de fase Aharonov–Bohm como o acima, e foi observada experimentalmente em 1998.

ENERGIA = MATÉRIA X SDCTI GRACELI DE CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENSÕES FENOMÊNICAS.

OS ASTRS FORMAM UMA CALDA MAGNÉTICA QUANDO PRÓXIMOS DO SOL, ESTA CALDA QUE CHEGA ATÉ A TERRA DURANTE ECLIPSES E QUE TEM INFLUÊNCIA SOBRE O MAGNETISMO DA TERRA E COM EFEITOS E PRODUÇÃO DE TERREMOTOS, ERUPÇÕES DE VULCÕES, E MAREMOTOS.

PRINCÍPIO GRACELI DA INTERPOSIÇÃO

quase em todos eclipses lunar total ocorrem fenômenos na terra como terremotos, maremotos, e erupções de vulcões, [isTO os antigos já tinham observado esta relação].

MAS, O QUE CAUSA ESTA RELAÇÃO?

É SIMPLES, A RADIAÇÃO SOLAR QUE TEM INFLUÊNCIA SOBRE O MAGNETISMO DA LUA, COMO TAMBÉM DA TERRA E DE OUTROS PLANETAS MAIS PRÓXIMOS [MERCÚRIO E VÊNUS], CARREIA ESTE MAGNETISMO PELO ESPAÇO ATÉ A TERRA, E QUE TEM INFLUÊNCIA DIRETA NA TERRA.

SENDO QUE NO VERÃO E NA FASE DE AFÉLIO [MAIOR PROXIMIDADE TRANSLACIONAL DO PLANETA AO SOL] ESTÁ INFLUÊNCIA SE TORNA MAIOR.

O MESMO ACONTECE EM FENÔMENOS EM ESCALA ATÔMICA, EM ELÉTRONS, PRÓTONS, NÊUTRONS, E OUTROS. [QUANDO UMA PARTÍCULA EMPARELHA E FICA NA FRENTE DA OUTRA.

OU MESMO COM INFLUÊNCIA EM FENÔMENOS TERMODINÂMICOS, QUÂNTICO, MECÃNICOS, ACUSTICOS, E OUTROS.

COMO FENÔMENSO DE:

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, E OUTROS.

E
COM VARIAÇÕES CONFORME O SISTEMA DECADIMESIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

COMO SE ENCONTRA ABAIXO.:

PARADOXO DA PULGA DE GRACELI -3, E O PRINCÍPIO DA INDETERMINALIDADE TRANSCENDENTE DE GRACELI - NO SDCTI - CADEIAS DE INTERAÇÕES

QUE TRATA DO ESTADO TRANSCENDENTE DAS PARTÍCULAS, ENERGIAS E FENÔMENOS E CONFORME O SDCTI -GRACELI.

OU SEJA, IMAGINE MILHARES DE PULGAS DEBAIXO DE UM TAMPA DE GARRAFA, AO LEVANTAR A TAMPA AS PULGAS SALTAM PARA TODOS OS LADOS [SALTO QUÂNTICO], COM INTENSIDADES, ALCANCES, E OSCILAÇÕES DIFERENTES.

OU SEJA SE TEM UMA REALIDADE VISUAL E INDETERMINADA TRANSCENDENTE DA REALIDADE, POREM, SE TEM OUTRA REALIDADE NÃO VISUAL, MAS INDETERMINADA DAS PULGAS DEBAIXO DA TAMPA, POIS MESMO SEM SEREM VISTAS ELAS ESTÃO VIBRANDO [ ENERGIAS, ÍONS E ELÉTRONS], NUM FLUXO TRANSCENDENTE [ESTADO TRANSCENDENTE INDETERMINADO DA MATÉRIA E ENERGIA E FENÔMENOS].

OU SEJA, SE TEM DUAS PERSPECTIVA DA REALIDADE A VISUAL E INDETERMINADA TRANSCENDETE, E A NÃO-VISUAL, POREM, SE TEM CONHECIMENTO DE QUE AS PULGAS VIBRAM E SALTAM ALEATORIAMENTE, MESMO DEBAIXO DA TAMPA.

COM ISTO SE TEM UMA INCERTEZA TRANSCENDENTE SOBRE O PRINCÍPIO DA INCERTEZA [MOMENTUM-POSIÇÃO OBSERVADOR] ,DA PULGA, E DO PRINCÍPIO DA EXCLUSÃO.

VEJAMOS ABAIXO.

um mesmo férmion idêntico não podem ocupar o mesmo estado quânticosimultaneamente.

pois, um férmion é feito de infinitas e ínfimas partes em processos variados de transformações, mutações e transcendência, como também o tempo de processamento e aceleração é único para cada parte destas dentro de um mesmo férmion.

ou seja, se torna transcendente e indeterminado DENTRO DO PRÓPRIO FÉRMION, E COMO TAMBÉM EM RELAÇÃO AO TEMPO DE PROCESSAMENTO DE CADA ÍNFIMA PARTE.

LOGO, SE TEM UMA TRANSCENDENTALIDADE INDETERMINADA .

COM ISTO TAMBÉM NÃO É POSSÍVEL DETERMINAR NEM O MOMENTUM E NEM A POSIÇÃO DOS ÍNFIMOS PROCESSOS DENTRO DE UM MESMO FÉRMION.

OU SEJA, SE TEM UMA INDETERMINALIDADE GENERALIZADA, E NÃO DA POSIÇÃO EM RELAÇÃO AO MOMENTUM E VICE-VERSA [PRINCÍPIO QUÂNTICO DA INCERTEZA], MAS SIM , DE INCERTEZA DE TODOS OSFENÔMENOS, E NÃO DE UM EM RELAÇÃO AO OUTRO, OU EM RELAÇÃO À OBSERVADORES.

COM ISOT TEM UM SISTEMA QUE SUBSTITUI TANTO A INCERTEZA MOMENTUM-POSIÇÃO, QUANTO A EXCLUSÃO DE PAULI.

E COM VARIÁVEIS CONFORME O SDCTI-GRACELI -

DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

CAMINHOS, DIREÇÕES E SENTIDOS, FLUXOS, FASES E EVOLUÇÕES, POSIÇÕES ESPACIAIS E TEMPORAIS, E OUTRAS. INTENSIDADE E HIPER-INTENSIDADE DE ENERGIAS., capacidades de ENTROPIAS E ANTALPIAS, VARIAÇÕES DE ESTADOS FUNDAMENTAIS, QUÂNTICO, EXCITADO, HIPER-EXCITADO DE GRACELI.
POTENCIAL DE TUNELAMENTO, ENTROPIA, EMARANHAMENTO, FLUXOS ALEAÓRIOS, TRANSCENDÊNCIA DE ESTADO QUÂNTICO, ESTADO DE ENERGIA E DA MATÉRIA, ESTADOS FENOMÊNICOS E DE ENERGIA DE GRACELI, E OUTROS.

COMO TAMBÉM TRANSIÇÕES DE :

E DIMENSÕES FENOMÊNICAS EXTRAS DE GRACELI.

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, E OUTROS.

OS CAMINHOS E FLUXOS COM FASES DE EVOLUÇÕES DOS PROCESSOS FÍSICOS QUÂNTICO LEVAM A REALIDADES INTERMEDIÁRIAS E FASES DE EVOLUÇÕES.

TEORIA GRACELI DE ESTADOS CATEGORIAS E DECADIMENSIONAIS TRANSICIONAIS E INTERAÇÕES [SDCTI - GRACELI].

CONFORME OS ESTADOS DE ENERGIAS E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS DE FENÔMENOS, ESTADOS DE ESTRUTURAS, E ESTADOS POTENCIAIS E EVOLUÇÃO DE DESENVOLVIMENTO SE TEM REALIDADES QUÂNTICA.

OU SEJA, SE TEM UMA RELATIVIDADE INDETERMINISTA DENTRO DE UM UNIVERSO DE ESTADOS CATEGORIAS E DECADIMENSIONAIS E SUAS POTENCIALIDADES DE CAMINHOS DE EVOLUÇÃO, PROCESSOS E DESENVOLVIMENTOS DESTES CAMINHOS, E REALIDADES DE FENÔMENOS CONFORME OS POTENCIAIS.

SQTIC GRACELI = SALTO QUÂNTICO TRANSCENDENTE INDETERMINADO CATEGORIAL GRACELI =

X SDCTI - GRACELI

CONFORME A CONGRUÊNCIA E APROXIMAÇÕES DE ENERGIAS, CATEGORIAS DE PARTÍCULAS E FENÔMENOS É POSSÍVEL ACONTECEREM SALTOS SOBRE ÓRBITAS ATÔMICA DE UMA SÓ VEZ, E MESMO SAIR DE DENTRO DOS PRÓPRIOS ÁTOMOS.

OU SEJA, É COMO UMA PULGA QUE SALTA GRANDES OBSTÁCULOS DE UMA SÓ VEZ, LEVANDO A UM SISTEMA INDETERMINADO DA INTENSIDADE E ALCANCE DO SALTO.

E COM ISTO TENDO UMA INDETERMINALIDADE ENTRE MOMENTUM, POSIÇÃO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES E O SISTEMA DE INTERAÇÕES DE CADEIAS ENVOLVENDO E SOBRE:

X

X SDCTI - GRACELI

SDC -TI GRACELI -SISTEMA DECADIMENSIONAL CATEGORIAL TRANSICIONAL E DE CADEIAS DE INTERAÇÕES E INDETERMINISTA GRACELI.

O SDCTI-GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES SE FUNDAMENTA EM DEZ DIMENSÕES FÍSICAS E UM SISTEMA DE CATEGORIAS.

FORMANDO UM SISTEMA RELATIVO CATEGORIAL TRANSCENDENTE E INDETERMINADO [DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI].

É BOM RESSALTAR QUE OS FENÔMENOS NÃO VARIAM EM FUNÇÃO DO TEMPO, OU VARIAÇÕES EM RELAÇÃO AO ESPAÇO, MAS SIM EM RELAÇÃO AO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

RELATIVIDADE QUÂNTICA CATEGORIAL GRACELI - INDETERMINADA E TRANSCENDENTE.

PARADOXO GRACELI CATEGORIAL DA INDETERMINALIDADE DE ESTADO QUÃNTICO.

DENTRO DO SISTEMA CATEGORIAL É IMPOSSÍVEL DE DETERMINAR QUAL NÍVEL E TIPO DE ESTADO QUÂNTICO EM QUE SE ENCONTRA UMA PARTÍCULA, COMO TAMBÉM ENERGIAS, FENÔMENOS, MOMENTUM, E DIMENSÕES.

OU SEJA, SE TEM COM ISTO QUE COM AS CATEGORIAS E O SISTEMA DECADIMENSIONAL EXiSTE UMA INDETERMINALIDA ABSOLUTA, TANTO PARA DETERMINAR ESTADO EXCITADO E SEUS NÍVEIS, POTENCIAIS E INTENSIDADE DE INTERAÇÕES, COMO TAMBÉM SE ESTÁ EM ESTADO QUÃNTICO NORMAL DE SALTOS DE POTENCIAIS, E OU OUTROS.

ESTADO QUÂNTICO EXCITADO E [OU] NORMAL

=

X SDCTI - GRACELI

SDC GRACELI - SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIA GRACELI - TRANSCENDENTE E INDETERMINADO.

TODA INTERAÇÃO PRODUZ TRANSFORMAÇÕES, E VICE-VERSA, ALTERANDO E TRANSCENDENDO ENERGIAS, MASSA, CAMADAS ORBITAIS, FENÔMENOS , DINÃMICAS, E OUTROS, CONFORME O SISTEMA DECADIMENSIONAL CATEGORIAL DE PADRÕES DE GRACELI.

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, E OUTROS.

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.
x
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

TODA INTERAÇÃO PRODUZ TRANSFORMAÇÕES, E VICE-VERSA, ALTERANDO E TRANSCENDENDO ENERGIAS, MASSA, CAMADAS ORBITAIS, FENÔMENOS , DINÃMICAS, E OUTROS, CONFORME O SISTEMA DECADIMENSIONAL CATEGORIAL DE PADRÕES DE GRACELI.

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES = Δ ENERGIAS, Δ MASSA , Δ CAMADAS ORBITAIS , Δ FENÔMENOS , Δ DINÂMICAS, Δ VALÊNCIAS, Δ BANDAS, E OUTROS.

X
$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli,
x
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

conforme as intensidade e tipos, potenciais e tempo de ação [categorias de Graceli] se tem variações de fluxos e vibrações de interações e transformações entre energias, cargas, ondas, íons e elétrons carregados de energias. e variável conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli.

RELATIVIDADE GRACELI DE VIBRAÇÕES CATEGORIAS E DE PADRÕES DE INTENSIDADE E TIPOS DE ENERGIAS.

A VIBRAÇÃO TAMBÉM SE ENCAIXA NO SISTEMA DE PADRÕES CATEGORIAS GRACELI DE BAIXA, MÉDIA E ALTAS ENERGIAS.

RELATIVIDADE GRACELI DE ALTAS ENERGIAS PARA ESPECIFICIDADES E UNIDADES FÍSICAS E QUÍMICAS [ TRANSFORMATIVAS]., COMO TAMBÉM DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS, DE ENERGIAS DE GRACELI, ESTADOS FENOMÊNICOS DE GRACELI, ESTADOS QUÂNTICO, E OUTROS.

A ESPECIFICIDADE DE CALOR, TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TUNELAMENTOS, EMARANHAMENTOS, DINÂMICAS, CONDUTIVIDADE, DIFRAÇÕES, E OUTROS, TEM OUTROS POTENCIAIS FENOMÊNICOS PARA UM SISTEMA DE ALTAS ENERGIAS. E QUE VARIA SE PROCESSA CONFORME O SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL TRANSCENDENTE INDETERMINADO GRACELI

A ESPECIFICIDADE DE CALOR, TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TUNELAMENTOS, EMARANHAMENTOS, DINÂMICAS, DIFRAÇÕES, E OUTROS, TEM OUTROS POTENCIAIS FENOMÊNICOS PARA UM SISTEMA DE ALTAS ENERGIAS. E QUE VARIA SE PROCESSA CONFORME O SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL TRANSCENDENTE INDETERMINADO GRACELI .

RELATIVIDADE GRACELI DE ALTAS ENERGIAS.

NUM SISTEMA DE ALTAS ENERGIAS COMO PLASMAS TÉRMICO, RELÂMPAGOS, ALTO FORNO, BURACO NEGRO E OUTROS SE TEM OUTRA REALIDADE PARA VALORES DE VARIAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES SOBRE INTERAÇÕES, EMISSÕES, ABSORÇÕES, ESPECIFICIDADES DE FENÔMENOS E ENERGIAS, TRANSFORMAÇÕES DE ISÓTOPOS E ESTRUTURA ELETRÔNICA, ESTADO QUÂNTICO E SALTO QUÂNTICO ,TUNELAMENTOS, EMARANHAMENTOS, CONDUTIVIDADE, SUPERCONDUTIVIDADE, SUPER DILATAÇÃO, E OUTROS, E VARIÁVEL CONFORME O SISTEMA DECADIMENSIONAL CATEGORIAL GRACELI.

OS ESTADOS DE ENERGIAS DE GRACELI SÃO TODOS TIPOS DE ENERGIAS , COMO TÉRMICA, ELÉTRICA, MAGNÉTICA, DINÂMICA, LUMINOSA, DE INTERAÇÕES, DE TRANSFORMAÇÕES, E OUTRAS FORMAS E TIPOS DE ENERGIAS. SENDO QUE VARIA E É ESPECÍFICA PARA CADA TIPO DE ESTRUTURA, ISÓTOPOS, E OUTROS.

EM = ENERGIA E MASSA.

SDCG = SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI

EM X SDC G.=

EM =
X

V [R] [MA] = Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

VELOCIDADE ALTERA E MODIFICA ESTRUTURAS, ENERGIAS, FENÔMENOS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, TEMPERATURA, MOMENTUM, E OUTROS FENÔMENOS E CONFORME O SISTEMA DECADIMENSIONAL CATEGORIAL GRACELI.

RELATIVIDADE DO MOVIMENTO E RELATIVIDADE CATEGORIAL GRACELI.

[VELOCIDADE, ROTAÇÃO E MOVIMENTO ANGULAR]
V [R] [MA] = Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

mecânica TRANSICIONAL Graceli se fundamenta nas mudanças de fases de estados, fases de isótopos, de estrutura atômica e molecular, [ FASES DE ESTADOS, ESTRUTURAS, ENERGIAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES CATEGORIAIS] com variáveis de movimentos, interações, transformações, temperatura, densidade e pressão, e outros, e conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli [SDC Graceli]. E FENÔMENOS E ENERGIAS E VARIAÇÕES DE ESTRUTURAS QUE ACONTECEM DENTRO DAS ESTRUTURAS E ENERGIAS.

um ferromagnético sendo derretido a 300 graus Celsius tem uma realidade física e química, e com variações quântica e orbitais, elétrica, termodinâmicas, mecãnicas, e outros diferentes de um derretimento a 350 graus.

o mesmo serve para outros materiais e com outras variações levando a um indeterminismo transcendente, categorial e decadimensional Graceli.

ΤDCG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

O sistema decadimensional e categorial Graceli pode ser visto como um outro ramo da física e da física, onde envolve condições da matéria e da energia, fenômenos e dimensões, realçados por categorias.

O único sistema que relaciona dez dimensões relacionadas com a matéria e suas energias, fenômenos e categoria.

Com isto pode-se dividir a física em quatro grandes fases:

a clássica, a quântica, a relatividade, e a categorial decadimensional Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

NO SISTEMA CATEGORIAL DE GRACELI TODO TIPO DE MOVIMENTO TEM AÇÃO TRANSFORMADORA [como os outros elementos, como temperatura, radioatividade, luz, e outros],SOBRE ESTRUTURAS E ENERGIAS, TEMPO E ESPAÇO, INÉRCIA E GRAVIDADE, LUZ .

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.

Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.

E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.

E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.

Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.

Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.

Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.

A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.

Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.

Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.

Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.

Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.

Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.

Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.

Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo, e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.

Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.

a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.

that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.

and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.

but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.

as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quântico, relatividade de transições de estados quântico, estados de fenômenos, estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico. e estados de Graceli com suas especificidades de transições, conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli transcendente e indeterminado, vejamos alguns:

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..

EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].

sexta-feira, 12 de julho de 2019

A formulação de Feynman da mecânica quântica ou formulação de integrais de caminho da mecânica quântica é uma descrição da teoria quântica que generaliza a ação da mecânica clássica. Ela substitui a noção clássica de uma única trajetória para um sistema por uma soma, ou integral funcional, por meio de uma infinidade de trajetórias possíveis para calcular a amplitude quântica.

A ideia básica da formulação de integral de caminho é originária de Norbert Wiener, que apresentou o processo de Wiener para a solucionar problemas de difusão e movimento Browniano.^[1] Esta idéia foi estendida para o uso do Lagrangiana na mecânica quântica por P. A. M. Dirac em seu artigo de 1933^[2] . O método completo foi desenvolvido em 1948 por Richard Feynman. Algumas preliminares foram trabalhados anteriormente, no curso de sua tese de doutorado no trabalho de John Archibald Wheeler. A motivação original surgiu da aspiração de obter uma formulação da mecânica quântica para a teoria de teoria de ação à distância de Wheeler e Feynman usando uma Lagrangeana (ao invés de um Hamiltoniano) como ponto de partida.

Esta formulação tem se provado fundamental para o desenvolvimento posterior da física teórica, por ser manifestamente simétrica entre o tempo e o espaço. Ao contrário dos métodos anteriores, a formulação de integral de caminho-integral permite facilmente a mudança de coordenadas entre descrições canônicas diferentes do mesmo sistema quântico.

A formulação de integral de caminho também relaciona processos quânticos e estocásticos, fornecendo a base para a grande síntese, na década de 1970 que unificou a teoria quântica de campos com a teoria de campos estatísticos de campo flutuante perto de uma transição de fase de segunda ordem. A equação de Schrödinger é uma equação de difusão com uma constante de difusão imaginária, sendo a integral de caminho uma continuação analítica do método para a soma de todos as possíveis caminhadas aleatórias. Por esta razão integrais de caminho foram utilizados no estudo de difusão e movimento Browniano pouco antes de serem introduzidos na mecânica quântica.^[3]

Estes são apenas três dos caminhos que contribuem para amplitude quântica de uma partícula movendo-se do ponto A em tempo t₀ para o ponto B em t₁.

Princípio da ação quântica[editar | editar código-fonte]

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Na mecânica quântica, assim como na mecânica clássica, o Hamiltoniano é o gerador de translações temporais. Isto significa que o estado em um tempo posterior difere do estado atual pela atuação do operador Hamiltoniano (multiplicado pelo negativo unidade imaginária, −i). Para os estados com uma determinada energia, esta é uma instrução de relação de De Broglie entre a freqüência e a energia, e a relação geral é consistente com o que e o princípio da superposição.

No entanto, na mecânica clássica o Hamiltoniano é derivado a partir de um Lagrangeana, que é uma quantidade mais fundamental em relação à relatividade especial. O Hamiltoniano indica como o movimento se desenvolve no tempo, mas o tempo é diferente em diferentes sistemas de referência. Assim, o Hamiltoniano é diferente em referenciais diferentes e este tipo de simetria não é aparente na formulação original da mecânica quântica.

O hamiltoniano é uma função da posição e momento no tempo t, determinando a posição e o momento no tempo (t+ε). A Lagrangiana é uma função das posição em t e (t+ε) (para um intervalo de tempo infinitesimal, a velocidade é medida é a velicidade instantânea, tornando a Lagrangeana como função da posição e da velocidade). A relação entre os dois é por uma transformação de Legendre e a condição que determina as equações de movimento (ou equações de Euler–Lagrange) é a extremização da ação.

Na mecânica quântica, uma transformação de Legendre é difícil de interpretar uma vez que o movimento não é dado por uma trajetória definida. Na mecânica clássica, a discretização temporal da transformação de Legendre torna-se:

\epsilon H=p(t)(q(t+\epsilon )-q(t))-\epsilon L\,

x

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p={\partial L \over \partial {\dot {q}}}\,

X

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onde a derivada parcial com relação a mantém q(t + ε) constante. A inversa da transformação de Legendre é:

\epsilon L=\epsilon p{\dot {q}}-\epsilon H\,

X

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onde

{\dot {q}}={\partial H \over \partial p}\,

X

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tomando q fixo.

Na mecânica quântica, um estado qualquer é uma superposição de estados independentes, com diferentes valores de q, ou diferentes valores de p, sendo que o momento e a posição (p e q) podem ser interpretadas como operadores que não comutam. O operador p é definitivo em estados onde q são indeterminados. Considere dois estados separados no tempo. A atuação do operador correspondente à Lagrangiana:

e^{i(p(q(t+\epsilon )-q(t))-\epsilon H(p,q))}\,

X

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Se a multiplicação implícita na fórmula são reinterpretados como multiplicação de matrizes, o primeiro fator é:

e^{-ipq(t)}\,

X

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Se esse também é interpretado como uma multiplicação de matrizes, a soma sobre todos os estados integra todos q(t), levando a transformada de Fourier em q(t), mudando a base para p(t). Isto é a ação sobre o espaço de Hilbert – mudar de base para p no tempo t.

Em seguida, tem-se:

e^{-i\epsilon H(p,q)}\,

X

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que é uma evolução infinitesimal para o futuro.

Finalmente, o último fator, nessa interpretação, é:

e^{ipq(t+\epsilon )}\,

X

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que é uma mudança de base de volta para q no tempo (t+ε).

Isto não é diferente do operador de evolução temporal: o fator H contém toda informação da dinâmica, avançando o estado no tempo. A primeira e a última parte são as transformadas de Fourier para a mudança na base pura de q a partir de uma base intermediária p.

De forma equivalente, pode-se dizer que: uma vez que o Hamiltoniano é naturalmente uma função de p e q, exponenciando estas quantidades e realizando uma mudança de base de p para q em cada passo permite expressar o elemento da matriz de H como uma função simples ao longo de cada caminho. Esta função é o análogo quântico da ação clássica. Esta observação é feita por Paul Dirac.

Dirac observou ainda que se pudesse, o quadrado do tempo-a evolução do operador no S representação:

e^{i\epsilon S}\,

e isso é o operador de evolução temporal entre o tempo t e o tempo t + 2ε. Enquanto que na representação H a quantidade que está sendo somada nos estados intermediários é um elemento de matriz obscuro, na representação S esta é reinterpretado como uma quantidade associada ao caminho. No limite que leva um grande poder de esse operador, reconstrói-se a evolução quântica completa entre dois estados sendo o estada mais antigo com valor fixo q(0) a o estado mais recente com valor q(t). O resultado é uma soma sobre os caminhos com uma fase que é a ação quântica. Crucialmente, Dirac identificada neste papel, a profundidade da mecânica quântica razão do princípio da mínima ação de controlar o limite clássico.

Interpretação de Feynman[editar | editar código-fonte]

O trabalho de Dirac não fornece uma prescrição para calcular a soma sobre os caminhos e não mostra como recuperar a equação de Schrödinger ou as relações de comutação canônica a partir desta regra. Isto foi feito por Feynman^[4] , que sugeriu que no limite clássico a trajetória clássica surge naturalmente.

Feynman mostrou que a ação quântica de Dirac foi, para a maioria dos casos de interesse, simplesmente igual a ação clássico, devidamente discretizado. Isso significa que a ação clássica é a fase adquirida pela evolução quântica entre dois pontos fixos. Feynman propẽ a recuperação de toda a mecânica quântica a partir dos seguintes postulados:

A probabilidade de um dado evento é dado pelo modulo quadrado de uma quantidade chamada de "amplitude de probabilidade".
A amplitude de probabilidade é dado somando a contribuição de todos os caminhos no espaço de configurações
A contribuição de um caminho em particular é proporcional à $e^{iS/\hbar }$ , onde S é a ação dado pela integral temporal da Lagrangeana ao longo do caminho.

Para encontrar a amplitude de probabilidade global para um determinado processo, soma-se, ou integra-se, a amplitude do 3º postulado sobre o espaço de todos os possíveis caminhos de sistema entre o estado inicial e o estado final, inclusive aqueles que são absurdos para o caso clássico. No cálculo da amplitude de probabilidade para uma única partícula, indo de uma coordenada espaço-tempo de coordenadas para outro, é correto incluir caminhos em que a partícula descreve trajetórias elaboradas,(curlicues) curvas em que a partícula dispara para o espaço sideral e volta novamente, e assim por diante. A integral de caminho integral atribui a todas estas amplitudes um mesmo peso, variando a fase de cada um, ou o argumento do número complexo. Contribuições de caminhos muito diferentes da trajetória clássica pode ser suprimida por interferência (ver abaixo).

Feynman mostrou que esta formulação da mecânica quântica é equivalente a aproximação canônica da mecânica quântica quando o Hamiltoniano possui, no máximo, termos quadráticos no momento. Uma amplitude calculada de acordo com o princípio de Feynman irá também obedecer a equação de Schrödinger para o Hamiltoniano correspondente à determinada ação.

A formulação de integral de caminho da teoria quântica de campos representa a amplitude de transição (correspondente a função correlação clássica) como uma soma ponderada de todos os possíveis histórias do sistema, de um estado inicial a um estado final. Um diagrama de Feynman é uma representação gráfica de uma contribuição perturbativa para a amplitude de transição.

Formulação concreta[editar | editar código-fonte]

Os postulados de Feynman são interpretados da seguinte maneira:

Definição da fração temporal (time-slicing)[editar | editar código-fonte]

Para uma partícula em um potencial suave, a integral de caminho é aproximada por caminhos em zig-zag, que, em uma dimensão, a integral de caminho é o produto de integrais ordinárias. Para o movimento de uma partícula que parte da posição x_ano tempo t_a e chega em x_b no tempo t_b, a seqüência de tempo:

t_{a}=t_{0}<t_{1}<...<t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}

X

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é dividida em (n + 1) segmentos de tempo (t_j − t_{j − 1)}, onde j = 1,...,n + 1, onde

\epsilon =\Delta t={\tfrac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}\,.

X

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é uma duração de tempo fixo. Este processo é chamado de fração temporal (time-slicing).

Uma aproximação para a integral de caminho pode ser calculada como proporcional à

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ldots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ \exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}L(x(t),v(t),t)\,\mathrm {d} t\right)dx_{0}\,\ldots \,dx_{n}

X

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onde é a Lagrangiana do sistema unidimensional com posição x(t), velocidade v = ẋ(t) e dx_j corresponde à posição no j-ésimo passo de tempo, quando a integral temporal é aproximada por uma soma de n termos.^{[note 1]}

No limite n → ∞, a integral torna-se um integral funcional, que, a menos de fatores não essenciais, é o produto das amplitudes das probabilidade (as respectivas densidades desde que cada um seja representado em um espectro contínuo) para encontrar a partícula quântica em t₀ no seu estado inicial x_a e em t_b no estado final x_b.

Na verdade, é a Lagrangiana clássica do sitema unidimensional considerado, que obedece a relação:

L(x,{\dot {x}},t)=p\cdot {\dot {x}}-H(x,p,t)\,,

X

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onde é o Hamiltoniano, e:

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}

,e, acima mencionado, "ziguezague" corresponde ao aparecimento dos termos:

\exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\epsilon \,\,\sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\epsilon }},j\right)\right)

X

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Na aproximação da soma Riemaniana a integral temporal, que é finalmente integrada de x₁ a x_n com a integração medida dx₁...dx_n, x_j é um valor arbitrário do intervalo correspondente ao j, ou seja, com seu centro entre (x_j + xj-1)/2.

Assim, em contraste com a mecânica clássica, não é apenas o caminho estacionário que contribui, na verdade, todos os caminhos virtuais entre o ponto inicial e o ponto final também contribuem.

O diagrama mostra a contribuição para integral de caminho de uma partícula livre para um conjunto de caminhos.

A aproximação de fatias temporais de Feynman aproximação, contudo, não existe para o mais importante de mecânica quântica caminho integrais de átomos, devido à singularidade do potencial de Coulomb e²/r na origem. Somente depois de substituir o tempo t por outro caminho dependentes de pseudo-parâmetro de tempo de

s=\int {\frac {dt}{r(t)}}

X

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a singularidade é removido e a aproximação de fração temporal existe, que é exatamente integrável, uma vez que pode ser feita a partir de uma simples transformação de coordenadas, como foi descoberto em 1979 por Ismail Hakkı Duru e Hagen Kleinert.^[5]^[6] A combinação de um caminho dependentes do tempo, a transformação e a transformação de coordenadas é uma ferramenta importante para a resolução de muitos caminho integrais e é chamado genericamente de transformação Duru–Kleinert.

Partícula livre[editar | editar código-fonte]

A representação em integral de caminho a amplitude quântica para ir do ponto x ao ponto y como uma integral sobre todos os caminhos. Para uma partícual livre, a ação (por simplicidade onsiderando m = 1, ħ = 1):

S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\,

X

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a integral pode ser avaliada de forma explícita.

Para fazer isso, é conveniente iniciar sem o factor i no exponencial, de forma que grandes desvios são suprimidas por pequenos números, não anulando contribuições oscilatórias.

K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left\{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\right\}Dx\,

X

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Dividindo a integral em frações de tempo:

K(x,y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\Pi _{t}\exp \left\{-{1 \over 2}\left({x(t+\epsilon )-x(t) \over \epsilon }\right)^{2}\epsilon \right\}Dx\,

X

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onde Dx é interpretado como uma coleção finita de integrações em cada múltiplo inteiro de ε. Cada fator do produto é uma Gaussiana como uma função de x(t + ε) centrada em x(t) com variância de ε. As múltiplas integrais são convoluções repetidas desta Gaussiana G_ε com cópias de si próprio em tempos adjacentes.

K(x-y;T)=G_{\epsilon }*G_{\epsilon }...*G_{\epsilon }\,

Onde o número de circunvoluções é T/ε. O resultado é fácil calcular tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, de modo que as convoluções tornam-se multiplicações.

{\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\epsilon }(p)^{T/\epsilon }\,

A transformada de Fourier da Gaussiana G é outra Gaussiana da variância recíproca:

{\tilde {G}}_{\epsilon }(p)=e^{-\epsilon {p^{2}/2}}\,

e o resultado é:

{\tilde {K}}(p;T)=e^{-T{p^{2}/2}}\,

A transformada de Fourier resulta em K, e é uma Gaussiana novamente com variância reciproca:

K(x-y;T)\propto e^{-{(x-y)^{2}/(2T)}}\,

X

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A constante de proporcionalidade não é determinado pela abordagem de fração temporal, mas a relação de valores para diferentes extremidade é determinado. A constante de proporcionalidade é escolhida de forma a garantir que entre duas frações de tempo o operador de evolução temporal é unitária. Uma forma mais clara de fixar a normalização é considerar a integral de caminho como uma descrição de um processo estocástico.

O resultado tem uma interpretaçã probabilistica. A soma sobre todos os caminhos do fator exponencial pode ser entendido como a soma da probabilidade da escolha de cada caminho. A probabilidade é o produto sobre cada segmento da probabilidade de escolher aquele segmento, de modo que cada probabilidade de cada segmento é independentemente de todos os outros. O fato de se obter uma Gaussiana espalhando de forma linear no tempo é resultado do teorema do limite central, que pode ser interpretada como a primeira avaliação histórica da integral de caminho estatística.

A interpretação probabilística lea a uma escolha de normalização natural. A integral de caminho pode ser definido tal que:

\int K(x-y;T)dy=1\,

Esta condição normaliza o Gaussiana, e produz um Kernel que obedece a equação de difusão:

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K\,

X

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Para integrais de caminho oscilatório, com um i (número imaginário) no numerador, a fração temporal produz convolved Gaussians, exatamente como antes. No entanto, agora o produto das convoluções é um pouco singular, pois requer cuidadosos limites para avaliar a integral oscilatoria. Para fazer a fatores bem definidos, a maneira mais fácil é adicionar uma pequena parte imaginária ao incremento de tempo . Isto está intimamente relacionado com a rotação de Wick. Então, o mesmo argumento da convolução resulta no propagador:

K(x-y;T)\propto e^{i(x-y)^{2}/(2T)}\,

Que, com a mesma normalização de antes ( não a soma dos quadrados de normalização - esta função tem uma norma divergente) , obedece a uma equação de Schrödinger livre

{d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K\,

X

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Isto significa que qualquer superposição de K's irá, também, obedecer à mesma equação devido a linearidade. Definindo:

\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx\,

X

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ψ_t obedece a equação de Schrödinger da mesma forma que K:

{\rm {i}}{\partial  \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}\,

X

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Oscilador harmônico simples[editar | editar código-fonte]

A lagrangiana do oscilador harmônico simples é:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\;.

x(t)=x_{c}(t)+\delta x(t)

, a ação torna-se

S=S_{c}+\delta S

. A trajetória clássica pode ser escrito como:

x_{c}(t)=x_{i}{\frac {\sin {\omega (t_{f}-t)}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}+x_{f}{\frac {\sin {\omega (t-t_{i})}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\;.

X

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Esta trajetória obedece à ação clássica:

S_{c}=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\;\mathrm {d} t=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}m\omega \left[{\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega (t_{f}-t_{i})}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\right]

Em seguida, expande-se a contribuição não clássica em

\delta S

, como em uma série de Fourier, que resulta em:

S=S_{c}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right]

o que significa que o propagador é:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int \;\mathrm {d} a_{j}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right]}=e^{iS_{c}/\hbar }Q\prod _{j=1}^{\infty }\left[1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right]^{-1/2}

para alguns de normalização:

Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}

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Usando a representação por produtória da função seno

\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin {\pi x}}{\pi x}}

, o propagador pode ser escrita como

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}}=e^{iS_{c}/\hbar }{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}}

Seja:

T=t_{f}-t_{i}

. Podemos escrever o propagador em termos das energias dos auto-estados:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega T}}}\right)^{1/2}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega T}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega T}}}\right]}=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})^{*}\psi _{n}(x_{i})\;.

usando as identidades

i\sin {\omega T}={\frac {e^{i\omega T}}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)

and

\cos {\omega T}={\frac {e^{i\omega T}}{2}}\left(1+e^{-2i\omega T}\right)

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-1/2}\exp {\left[-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left\{(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right\}\right]}

Podemos absorver todos os termos após

e^{-i\omega T/2}

R(T)

,resultando em:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\cdot R(T)\;.

Expandindo

R(T)

à potencias de

e^{-i\omega T}

. Todos os termos nessa expansão são multiplicados pelo fator

e^{-i\omega T/2}

que resultam em termos da forma

e^{-i\omega T/2}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T({\frac {1}{2}}+n)}

com

n=0,1,2,\ldots

. Comparing that to the eigenstate expansion, we get the energy spectrum for simple harmonic oscillator,

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega \;.

X

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A equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

A integral de caminhol reproduz a equação de Schrödinger para os estados iniciais e finais, mesmo quando um potencial está presente. Isso é fácil de ver tomando a integral de caminho sobre intervalos de tempos infinitesimalmente separados.

\psi (y;t+\epsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\;\;\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\epsilon )=y}e^{{\rm {i}}\int _{t}^{t+\epsilon }({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}-V(x))dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)

X

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Uma vez que a fração de tempo é infinitesimal e as oscilações (que se cancelam) tornaram-se mais bruscas para grandes valores de ẋ, a integral de caminho passa a ser mais relevante para para y próximo de x. Neste caso, a ordem mais baixa da energia potencial é constante, e apenas a contribuição de energia cinética é não trivial. O termo da ação é:

e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\epsilon }\,

O primeiro termo gira a fase de ψ(x) localmente por uma quantidade proporcional à energia potencial. O segundo termo é o propagador da partícula livre, correspondente a ivezes um processo de difusão. Para a ordem mais baixa em ε os termos são aditivos.

\psi (y;t+\epsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}(x-y)^{2} \over 2\epsilon }dx\,.

Como mencionado, o espalhamento difusivo em ψ provem do propagador da partícula livre, com uma rotação infinitesimal na fase que varia lentamente de ponto a ponto do potencial. Além disso, tem-se que:

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\rm {i}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right]\psi \,

X

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que é a equação de Schrödinger. Observe que a normalização da integral de caminho precisa ser corrigido da mesma maneira como no caso da partícula. Um potencial arbitrário contínuo não afeta a normalização, embora potenciais singulares exigem um tratamento cuidadoso.

Equações do movimento[editar | editar código-fonte]

Uma vez que os estados obedecer a equação de Schrödinger, a integral de caminho deve reproduzir as equações de movimento de Heisenberg para as médias de x e ẋ, mas é mais instrutivo ver isso diretamente. A abordagem direta mostra que a valores esperados calculados a partir da integral de caminho integral reproduzem os valores esperados usuais da mecânica quântica.

Começando por considerar a integral de caminho integral em estado inicial fixo.

\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{{\rm {i}}S(x,{\dot {x}})}Dx\,

X

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Note que que x(t) em cada tempo é uma variável de integração. Assim, é legítima a mudança de variáveis na integral : x(t) = u(t) +ε(t) onde ε(t) é uma deslocamento que pode ser diferente para cada valor de t, impondo condições nos extremos por ε(0) = ε(T) = 0, para que assim os pontos das extremidades não sejam incorporados a integral:

\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{{\rm {i}}S(u+\epsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\epsilon }})}Du\,

X

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A alteração na integral por deslocamentos é, em ordem infinitesimal na variável ε:

\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\partial S \over \partial u}\epsilon +{\partial S \over \partial {\dot {u}}}{\dot {\epsilon }}dt\right)e^{iS}Du\,

que, integrando por partes em t, obtém-se:

\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({d \over dt}{\partial S \over \partial {\dot {u}}}-{\partial S \over \partial u}\right)\epsilon (t)dt\right)e^{iS}Du\,

X

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Mas isso foi apenas uma deslocamento nas variáveis de integração, o que não altera o valor da integral para qualquer escolha de ε(t). A conclusão é que a variações de primeira ordem é zero para um estado inicial arbitrário e em qualquer ponto arbitrário no tempo:

\langle \psi _{0}|{\delta S \over \delta x}(t)|\psi _{0}\rangle =0\,

que é a equação de movimento de Heisenberg.

Se a ação contém termos que multiplicam ẋ e x, para um mesmo tempo t, manipulações acima são apenas heurístico, pois as regras de multiplicação para essas quantidades não comutam (na formulação de integral de caminho) assim como é no formalismo de operadores.

Aproximação de fase estacionária[editar | editar código-fonte]

Se a variação da ação excede ħ por muitas ordens de magnitude, normalmente têm-se uma fase destrutiva fase de interferência outros do que na vizinhança desses trajetórias de satisfazer a quação de Euler–Lagrange, que agora é reinterpretado como a condição para a fase construtiva interferência. Isso pode ser mostrado usando o método da fase estacionária aplicada ao propagador. A medida que ħ diminui, a exponencial na integral oscila rapidamente no domínio complexo para qualquer alteração na ação. Assim, no limite de ħ vai para zero, apenas os pontos onde a ação clássica não varia contribuem para o propagador.

Relações de comutação canônicas[editar | editar código-fonte]

A formulação da integral de caminho não deixa claro à primeira vista que as quantidades x e p não comutam. Na integral de caminho, x e p são apenas variáveis de integração não têm ordem obvia. Feynman descobriu que a não-comutatividade ainda estava presente.^[7]

Para ver isso, considere a integral de caminho simples, a caminhada aleatória do movimento browniano. Não estamos tratando de mecânica quântica, assim, na integral de caminho integral a ação não é multiplicado por i:

S=\int \left({dx \over dt}\right)^{2}dt\,

X

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A quantidade x(t) é flutuante, e sua derivada é definido como o limite de uma diferença discreta.

{dx \over dt}={x(t+\epsilon )-x(t) \over \epsilon }\,

Observe que a distância que um a caminhada aleatória é proporcional a √t, de modo que:

x(t+\epsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\epsilon }}\,

Isso mostra que o movimentovnão é diferenciável, pois a relação que define a derivada diverge com probabilidade um.

A quantidade x ẋ é ambígua, com dois significados possíveis:

[1]=x{dx \over dt}=x(t){(x(t+\epsilon )-x(t)) \over \epsilon }\,

Em cálculo elementar, os dois são diferentes apenas por uma quantia que vai para zero à medida que ε vai para zero. Mas, neste caso, a diferença entre os dois não é igual a zero:

[2]-[1]={(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }\approx {\epsilon  \over \epsilon }\,

definindo o valor da diferença para qualquer passeio aleatório por uma função f:

{(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }=f(t)\,

e notando que f(t) é uma quantidade estatística de alta flutuação, cujo valor médio é de 1, i.e. um "processo Gaussiano" normalizado. As flutuações de uma tal quantidade pode ser descrita por uma Lagrangeana estatística

{\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,

Para obter e as equações de movimento de f derivados da extremização da ação S correspondente a

{\mathcal {L}}

Definindo a ordem temporal como um operador de ordenação:

[x,{\dot {x}}]=x{dx \over dt}-{dx \over dt}x=1\,

que é o chamado lema de Itō em cálculo estocástico, e de relações de comutação canônicas (euclidianas) em física.

Para uma ação estatística geral, um argumento similar mostra que

\left[x,{\partial S \over \partial {\dot {x}}}\right]=1\,

X

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e na mecânica quântica, a unidade imaginário multiplicativa na ação converte a relação anterior para a relação de comutação canônica:

[x,p]={\rm {i}}\,

Partícula no espaço curvo[editar | editar código-fonte]

Para uma partícula no espaço curvo o termo cinética depende da posição, e a fração temporal superior não pode ser aplicada, sendo isto uma manifestação do problema do operador pedido. Pode-se, no entanto, resolver este problema transformando a integral de caminho em um espaço curvo, usando uma transformação de coordenadas múltiplas.( mapeamento não holonômico explicado aqui).

A integral de caminho e a função de partição[editar | editar código-fonte]

A integral de caminho é apenas a generalização da integral a seguir para todos problemas da mecânica quântica -

Z=\int e^{{\rm {i}}{\mathcal {S}}[x]/\hbar }Dx\,

onde

{\mathcal {S}}[x]=\int _{0}^{T}L[x(t)]\mathrm {d} t

X

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é a ação do problema clássico investigado cujo caminho inicia-se em t=0 e termina em t = T, sendo Dx a notação para integração de todos os caminhos. No limite clássico,

{\mathcal {S}}[x]\gg \hbar

, o caminho da mínima ação domina o integral, porque a fase de qualquer outro caminho oscila rapidamente e as diferentes contribuições se cancelam.^[8]

Conexão com a mecânica estatística é a seguinte: Considerando apenas os caminhos que começam e terminam na mesma configuração, execute-se a rotação de Wick

it=\tau

, isto é, fazendo o tempo imaginário, e integra-se sobre todos os possíveis iconfigurações iniciais/finais.A integral de caminho torna-se semelhante a função de partição da mecânica estatística definida em um ensemble canônico com o inverso da temperatura proporcional ao tempo imaginário,

1/T=k_{\mathrm {B} }\tau /\hbar

. S Rigorosamente falando, esta é a função de partição para uma teoria de campos estatistica .

Claramente, uma analogia profunda entre a mecânica quântica e mecânica estatística não pode depender desta formulação. Na formulação canônica, vê-se que a evolução do operador unitário de um estado é dada por

|\alpha ;t\rangle =e^{-{\rm {i}}Ht/\hbar }|\alpha ;0\rangle

onde o estado α evoluiu a partir do tempo t = 0. Se uma rotação de Wick é realizada, e encontra-se a amplitude de movimento a partir de qualquer estado, de volta para o mesmo estado (imaginária) do tempo que é dado por

Z={\rm {Tr}}[e^{-HT/\hbar }]

X

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que é, precisamente, a função de partição para o mesmo sistema na temperatura citada anteriormente. Um aspecto desta equivalência também era conhecido por Schrödinger,comentando que a equação a se parecia com a equação de difusão, depois de feito a rotação de Wick.

Medida de fatores teóricos[editar | editar código-fonte]

Por vezes (por exemplo, uma partícula movendo-se no espaço curvo) temos medidas de fatores teóricos na integral funcional.

\int \mu [x]e^{iS[x]}{\mathcal {D}}x

Este fator é necessária para restaurar o unitaridade.

Por exemplo, tomando:

S=\int \left[{\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right]dt

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então isso significa que cada fatia espacial é multiplicado pela medida √g. Esta medida não pode ser expressa como um funcional da multiplicação da medida de porque eles pertencem a diferentes classes.

Teoria quântica de campos[editar | editar código-fonte]

A formulação da integral de caminho foi muito importante para o desenvolvimento da teoria do campo quântico. Tanto Schrödinger quanto Heisenberg usaram abordagens para a mecânica quântica independentes do tempo, fora do âmbito da relatividade. Por exemplo, a abordagem de Heisenberg requer que os operadores de campo escalar obedecam a relação de comutação:

[\phi (x),\partial _{t}\phi (y)]={\rm {i}}\delta ^{3}(x-y)\,

X

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para x e y duas posiões espaciais simultâneas, não é um conceito de invariante relativístico. Os resultados de um cálculo são covariantes, mas a simetria não é evidente em estágios intermediários. Se os cálculos da teoria de campo cálculos não produzem respostas infinitas nolimite contínuo, isso não teria sido um grande problema – poderia ser apenas uma má escolha de coordenadas. Mas a falta de simetria significa que as quantidades infinitas devem ser eliminadas, pois as coordenadas tornam quase impossível finalizar a teoria sem prejudicar a simetria. Isso torna difícil para extrair previsões físicas, exigindo um cuidadoso procedimento limite.

O problema de perda de simetria também aparece na mecânica clássica, onde a formulação Hamiltoniana também destaca o tempo superficialmente. A formulação Lagrangiana torna a invariância relativista aparente. A integral de caminho também é manifestamente relativista, e reproduz a equação de Schrödinger, as equações de movimento de Heisenberg, e as relações de comutação canônica mostrando que são compatíveis com a relatividade. estende o tipos de operadores algébricos de Heisenberg em regras do produto de operadores que são novas relações difíceis ver no formalismo antigo.

Além disso, diferentes escolhas de variáveis canônicas levam a formulações muito diferentes da mesma teoria. As transformações entre as variáveis podem ser muito complicadas, mas a integral de caminho faz destas transformações algo mais razoável, como uma mudança simples nas variáveis de integração. Por estas razões, a integral de caminho de Feynman tornou os formalismos anteriores em grande parte obsoleto.

O preço de da representação da integral de caminho é que o unitaridade da teoria não é auto-evidente, mas pode ser comprovado mudando as variáveis para uma representação canônica. A Integral de caminho em si também lida com espaços matemáticos maiores que o habitual, exigindo mais cuidado matemático dos quais não foi devidamente esclarecida. Historicamente a integral de caminho não foi imediatamente aceita, em parte porque ele levou muitos anos para incorporar fermions corretamente. Isto acabou por levar os físicos a inventar um novo objeto matemático – chamade de variável de Grassmann – que também permite a mudança de variáveis de forma natural, assim como a quantização restrita.

A integração de variáveis na integral de caminho sutilmente . O valor do produto de dois operadores de campo, no que parece ser o mesmo ponto depende de como os dois pontos são ordenados no tempo e no espaço, resultando em algumas identidades falhas (anomalia quântica).

O propagador[editar | editar código-fonte]

Em teorias relativistas, há tanto a representação por partícula quanto por campo. A representação po campo é uma soma sobre todas as configurações de campos, e a representação por partícula é uma soma através de diferentes caminhos das partículas.

A formulação não-relativística é tradicionalmente dada em termos de caminhos de partículas, e não de campos.Neste caso, a integral de caminho nasnas variáveis habituais, com condições de contorno fixas, dão a amplitude de probabilidade para uma partícula para ir do ponto x ao ponto y no tempo T.

K(x,y;T)=\langle y;T|x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}Dx\,

X

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TK(x,y;T) é chamado de propagador. Sobrepondo valores diferentes da posição inicial x com um estado inicial arbitrário

\psi _{0}(x)

constrói-se o estado final:

\psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}Dx\,

Para um sistema espacialmente homogêneo, onde K(x, y) é apenas uma função de (x − y), a integral é uma convolução, o estado final é o estado inicial convoluido pelo propagador.

\psi _{T}=\psi _{0}*K(;T)\,

Para um livre de partícula de massa m, o propagador pode ser avaliada de forma explícita a partir da integral de caminho ou notando que a equação de Schrödinger é uma equação de difusão com tempo imaginário e a solução deve ser um Gaussiana normalizada:

K(x,y;T)\propto e^{im(x-y)^{2} \over 2T}

Tomando a transformada de Fourier em (x − y) produzindo outra Gaussiana:

K(p;T)=e^{iTp^{2} \over 2m}

no espaço dos momentos p, o fator de proporcionalidade é constante no tempo, como será verificado a seguir. A transformada de Fourier temporal e tomando a extenção de K(p; T) com zero para vslores negativos de tempo, resulta na função de Green, ou se a frequência espacial do propagador:

G_{F}(p,E)={-i \over E-{{\vec {p}}^{2} \over 2m}+i\epsilon }

X

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Que é o recíproco do operador que aniquila a função de onda na equação de Schrödinger, que não devia surgir corretamante, se o fator de proporcionalidade não fosse constante no espaço de representação de momentos p.

O termo infinitesimal no denominador é um número positivo pequeno, que garante que a inversa da transformada de Fourier em E será diferente de zero apenas para tempos futuros. Para tempos passados, a transformada de Fourier inversa faz um contorno fechado para os valores de E onde não há singularidade. Isso garante que K propaga a partícula para o futuro (por isso o sub-escrito 'F' em G). O termo infinitesimal pode ser interpretado como uma rotação infinitesimal na direção de tempo imaginário.

Também é possível reescrever a evolução temporal não-relativistico em termos de propagadores que vão em direção ao passado, uma vez que a equação de Schrödinger é reversível no tempo. O propagador para o passado é o mesmo para o futuro, exceto para a diferença óbvia de que o propagador do passado desaparece no futuro, sendo que na gaussiana t é substituído por (−t). Neste caso, a interpretação é que estas são as quantidades a convoluir a função de onda final de modo a obter a função de onda inicial.

G_{B}(p,E)={-i \over -E-{i{\vec {p}}^{2} \over 2m}+i\epsilon }

As duas últimas equações são quase idênticas, com uma única diferença de sinal em E. O parâmetro E na função de Green pode ser a energia se os caminhos estão indo em direção ao futuro, ou o negativo da energia se os caminhos estão indo para o passado.

Para uma teoria não-relativistica, o tempo medido ao longo do caminho do movimento da partícula e o tempo medido por um observador externo são os mesmos. Na relatividade, isso não é mais verdade. Para uma teoria relativista o propagador deve ser definido como a soma sobre todos os caminhos de viagem entre dois pontos fixos de tempo próprio, como medida ao longo do caminho. Esses caminhos descrever a trajetória de uma partícula no espaço e no tempo.

K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}-\alpha d\tau }\,

X

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A integral acima não é trivial para interpretar, porque da raiz quadrada. Felizmente, há um truque heurística. A soma é sobre arcos de comprimento relativisticos do caminho de uma quantidade oscilatória, e a integral de caminho não-relativístico deve ser interpretado como girado levemente no tempo imaginário. A função

K(x-y,\tau )

pode ser avaliada quando a soma é sobre os caminhos no espaço Euclidiano:

K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}\,

K descreve uma soma sobre todos os caminhos de comprimento

\Tau

da exponencial de menos o comprimento. Este pode ser dado interpretação de probabilidade. A soma sobre todos os caminhos é uma média de probabilidade sobre um caminho construído passo a passo. O número total de passos é proporcional à

\Tau

\Tau

K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-(x-y)^{2} \over \mathrm {T} }\,

A definição usual do propagador relativistico pede apenas a amplitude para viajar a partir de x para y, depois de somar sobre todos os tempos próprio possíveis:

K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )d\mathrm {T} \,

W(\mathrm {T} )

ié um fator de peso, a importância relativa dos caminhos, para tempo próprio diferentes. A simetria de translação no tempo próprio, este peso pode ser apenas um fator exponencial, e pode ser absorvida por uma constante α.

K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{(x-y)^{2} \over \mathrm {T} }-\alpha \mathrm {T} }d\mathrm {T} \,

que é a representação de Schwinger. A transformada de Fourier sobre a variável (x − y) pode ser feito para cada valor de

\Tau

separadamente. Cada

\Tau

cseparadamente é uma contribuição Gaussiana, cuja transformada de Fourier é outra Gaussiana com largura recíproca. Assim, no espaço de configuraçẽos p, o propagador pode ser reexpressado simplesmente por:

K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }d\mathrm {T} ={1 \over p^{2}+\alpha }\,

que é o propagador Euclidiano para uma partícula escalar. A rotação de p₀ feita de tal forma a ser imaginário resulta em um propagador relativístico com um fator de (−i). Esta ambiguidade será esclarecida a seguir.

K(p)={i \over p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}\,

Esta expressão pode ser interpretadado no limite não relativístico, onde é conveniente dividi-lo por frações parciais:

2p_{0}K(p)={i \over p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}+{i \over p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}

Para os estados onde partículas não-relativísticas estam presentes, a função de onda inicial tem uma distribuição de freqüência que se concentram perto p₀ = m. Quando convoluida com o propagador, ( que, espaço p significa multiplicar pelo propagador), o segundo termo é suprimida e o primeiro termo é reforçada. Para freqüências próximas a p₀ = m, o primeiro termo dominante tem a forma:

2mK_{\mathrm {NR} }(p)={i \over (p_{0}-m)-{{\vec {p}}^{2} \over 2m}}

Esta é a expressão para a Função de Green da partícula livre de Schrödinger.

O segundo termo tem também um limite não relativísitco, mas esse limite é concentrada nas frequências que são negativos. O segundo pólo é dominada por contribuições de caminhos onde o tempo próprio e a coordenada temporal passam em sentidos opostos, o que significa que o segundo termo está para ser interpretado como a antipartícula.A análise não-relativísitca mostra que com esse forma a antipartícula ainda tem energia positiva.

A maneira correta de expressar isto matematicamente, é que, a adição de uma pequena supressão no tempo próprio, o limite em que t → −∞ do primeiro termo deve desaparecer, enquanto que o limite t → +∞ do segundo termo deve desaparecer. Na transformada de Fourier, isto significa deslocar o pólo p₀ ligeiramente, de modo que a inversa da transformada de Fourier, ganha um pequeno fator de decaimento em uma das direções:

K(p)={i \over p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\epsilon }+{i \over p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\epsilon }

Sem estes termos, a contribuição de pólo não pode ser inequivocamente avaliada quando se toma a inversa da transformada de Fourier de p₀. Os termos podem ser recombinados:

K(p)={i \over {p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}

X

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Quando fatorado, produz termos infinitesimais de sinais opostos para cada fator. Esta é a forma matemática precisa do propagador de uma partícula relativista, livre de ambiguidades. O termo ε apresenta uma pequena parte imaginária para α = m², que na versão de Minkowski é uma pequena supressão da exponencial de caminhos longos.

Assim, no caso relativístico, a representação do propagador em integrais de caminho de Feynman inclui caminhos que vão para trás no tempo, descrevendo antipartículas. Os caminhos que contribuem para o propagador relativistico avançam e retrocedem no tempo, e a interpretação é que a amplitude de uma partícula livre para viajar entre dois pontos inclui amplitudes para as partícula de forma que a flutuação permite o surgimento de uma antipartícula, viajando de volta no tempo, e em seguida, avançar no tempo novamente.

Ao contrário do caso não-relativísitco, é impossível produzir uma teoria relativista de um propagador de partícula local sem a inclusão de antipartículas. Todos os operadores direfenciais locais têm inversas que são diferentes de zero fora do cone de luz, o que significa que é impossível manter uma partícula de viajar mais rápido que a velocidade luz. Tal partícula não pode ter uma função de Green que só é diferente de zero no futuro, em uma teoria relativística invariante.

Funcionais dos campos[editar | editar código-fonte]

No entanto, o caminho integral formulação também é extremamente importante, em aplicação direta para a teoria do quântico de campos, onde os "caminhos" ou histórias a ser considerada não são os movimentos de uma única partícula, mas as possíveis evoluções temporais de um campo sobre todo o espaço. A ação é conhecida tecnicamente como um funcional de domínio: S[ϕ] onde o campo ϕ(x,^μ) é uma função do espaço e do tempo, e os colchetes indicam que a ação depende de todos os valores nos campos em todos os lugares, não apenas a um determinado valor. Em princípio, é possível integrar a amplitude de Feynman sobre todas as classes de todas as combinações de valores possíveis que o campo pode ter em assumir em qualquer lugar no espaço–tempo.

Muitos dos estudos formais da QFT são dedicados às propriedades das integrais funcionais resultantes, e muito esforço (ainda não foi inteiramente bem-sucedida) tem sido feito no sentido de tornar estas funcionais, integrais precisas matematicamente.

Tal funcional integral é extremamente semelhante à função de partição em mecânica estatística. De fato, às vezes é chamada uma função de partição, e os dois são, essencialmente, idênticas matematicamente , exceto para o fator de 'i' no expoente do postulado 3 de Feynman. Extensão analítica da integral para tempos imaginários (chamado de um rotação de Wick) torna a integral funcional ainda mais parecida com a função de partição, e também facilita algumas das dificuldades matemáticas em trabalhar com essas integrais.

Valores esperados[editar | editar código-fonte]

Na teoria quântica de campos, se a ação é dado pelo funcional

{\mathcal {S}}

\left\langle F\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}}{\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}}}

O símbolo

\int {\mathcal {D}}\phi

Probabilidade[editar | editar código-fonte]

Rigorosamente falando, a única questão que pode ser feita em termos físicos é: "Qual é a fração dos estados satisfazendo a condição A que também satisfazer a condição B?" A resposta, que é um número entre 0 e 1,pode ser interpretado como uma probabilidade ,é escrito como P(B|A). Em termos de integração de caminho, uma vez que

P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}

P(B|A)={\frac {\displaystyle \sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\phi O_{in}[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}F[\phi ]\right|^{2}}{\displaystyle \sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\phi O_{in}[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}F[\phi ]\right|^{2}}}

X

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onde o funcional Oin[ϕ] é uma superposição de todas as estados de entrada, que podem levar a estados em que estamos interessados. Em particular, este pode ser um estado correspondente ao estado do Universo logo após o big bang, apesar que para presente cálculo é simplificação de métodos heurísticos. Note que o quociente na expressão garante naturalmente uma normalização.

Equações de Schwinger–Dyson[editar | editar código-fonte]

Uma vez que esta formulação da mecânica quântica é análogo aos princípios da ação clássica, pode-se esperar que as identidades acerca da atuação na mecânica clássica teria uma contraparte quântica derivados a partir de uma integral funcional. Este é frequentemente o caso.

Na linguagem da análise funcional, podemos escrever as equações de Euler–Lagrange como:

{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\phi ]}{\delta \phi }}=0

X

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(do lado esquerdo é uma derivada funcional; a equação significa que a ação é estacionária em pequenas alterações na configuração do campo). O análogo quântico destas equações são chamados de equações de Schwinger–Dyson.

Se a medida funcional

{\mathcal {D}}\phi

produz resultado invariante por translação (vamos assumir isso para o resto deste artigo que, apesar de não ser garantia para o modelo sigma não linear) e se, supondo que, após uma rotação de Wick

e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]},

que agora torna-se

e^{-H[\phi ]}\,

para algum H, vai a zero mais rapidamente do que a reciproca de qualquer polinômio para grandes valores de φ, podemos integrar por partes (depois de uma rotação de Wick, seguido rotação de Wick de volta) para obter a seguinte equação de Schwinger–Dyson para o valor esperado:

\left\langle {\frac {\delta F[\phi ]}{\delta \phi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\phi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\phi ]}{\delta \phi }}\right\rangle

X

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para qualquer funcional F polinominalmente delimitada.

\left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle

na notação de deWitt.

Estas equações são o análogos das equações sobre a cascas EL (on shell EL equations). A ordenação de tempo é tomado antes da derivada temporal dentro do

{\mathcal {S}}_{,i}

Se J (chamado de fonte de campo) é um elemento do espaço dual do campo de configurações (que tem pelo menos uma estrutura afim por causa da suposição da invariância de translação para a medida funcional), então, o funcional gerador Z das fontes de campos é definido por:

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}.

Note que

{\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,{\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle }_{J}

Z^{,i_{1}\dots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]{\left\langle \phi ^{i_{1}}\cdots \phi ^{i_{n}}\right\rangle }_{J}

onde

{\left\langle F\right\rangle }_{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}}}.

X

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Basicamente, se

{\mathcal {D}}\phi e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}

\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle

são os seus momentos e Z é a sua transformada de Fourier.

Se F é um funcional de φ, então, para um operador K, F[K] é definido como o operador que substitui K por φ. Por exemplo, se

F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})

G sendo o funcional de J, tem-se então

F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].

Daí, a partir das propriedades de integrais funcionais

{\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi (x)}}\left[\phi \right]+J(x)\right\rangle }_{J}=0

obtendo a "equação mestre" de Schwinger–Dyson:

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0

X

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{\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.

Se a medida funcional não é invariante por translação, talvez seja possível expressá-la como o produto

M\left[\phi \right]\,{\mathcal {D}}\phi

onde M é um funcional e

{\mathcal {D}}\phi

é uma medida invariante por translação. Este é o caso, por exemplo, para modelos sigma não-lineares onde o espaço de destino é difeomorfico a Rⁿ. No entanto, se o alvo é algum espaço topologicamente não trivial o conceito de uma translação não faz qualquer sentido.

Nesse caso, teríamos que substituir a

{\mathcal {S}}

inesta equação por outro funcional

{\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln(M)

Se expandirmos esta equação como uma série de Taylor em torno de J = 0, podemos obter todo o conjunto das equações de Schwinger–Dyson.

Localização[editar | editar código-fonte]

As integrais de caminho são geralmente pensada como sendo a soma de todos os caminhos através de uma infinidade espaço de tempo. No entanto, na teoria quântica de campos local seria restringir tudo para permanecer dentro de um região de causalidade completa finita, por exemplo, dentro de um cone de luz duplo. Isso resulta em uma definição da teoria quântica mais precisa matematicamente e mais rigorosa fisicamente.

Identidades de Ward–Takahashi [editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal Ward–Takahashi identidade.

O que se sabe sobre o teorema de Noether para o clássico caso? Ele tem um análogo quântico ? Sim, mas com uma ressalva. A medida funcional teria de ser invariantes sobre um parâmetro do grupo da transformação de simetria.

Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)

para alguma função f, onde f depende somente localmente em φ (e, possivelmente, o espaço-tempo da posição).

Se não assumimos qualquer condições de contorno especiais, isso não seria uma "verdadeira" simetria, no sentido verdadeiro do termo, em geral, ao menos que f=0, ou algo semelhante. Aqui, Q é uma derivação , o que gera um grupo de parâmetro em questão. Poderíamos ter antiderivação, bem como BRST e supersimetria.

Além disso, assuma que

\int {\mathcal {D}}\phi Q[F][\phi ]=0

Em seguida,

\int {\mathcal {D}}\phi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\phi ]=0,

X

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o que implica

\left\langle Q[F]\right\rangle +i\left\langle F\int _{\partial V}f^{\mu }ds_{\mu }\right\rangle =0

onde a integral é sobre o contorno. Este é o análogo quântico doteorema de Noether.

Agora, vamos supor ainda mais Q é uma integral local

Q=\int d^{d}xq(x)

onde

q(x)[\phi (y)]=\delta ^{(d)}(X-y)Q[\phi (y)]\,

tal que

q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\,

onde

j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\phi ]\,

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(partindo do princípio que a Lagrangiana só depende de φ e suas primeiras derivadas parciais! Mais geral Lagrangianas exigiria uma modificação para esta definição!). Note que NÃO estamos insistindo que q(x) é o gerador de simetria (isto é, nós não estamos insistindo em princípios de calibre ), mas apenas naquilo que Q é. Assumimos ainda que a mais forte suposição de que a medida funcional é localmente invariante:

\int {\mathcal {D}}\phi \,q(x)[F][\phi ]=0.

Então, teríamos

\left\langle q(x)[F]\right\rangle +i\left\langle Fq(x)[S]\right\rangle =\left\langle q(x)[F]\right\rangle +i\left\langle F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\right\rangle =0.

Alternativamente

q(x)[S]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.

As duas equações acima são as Identidades de Ward–Takahashi.

Agora, para o caso em que f=0, podemos esquecer todas as condições de contorno e localidade pressupostos. Temos simplesmente:

\left\langle Q[F]\right\rangle =0.

alternativamente,

\int d^{d}x\,J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.

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A necessidade de reguladores e renormalização[editar | editar código-fonte]

Integrais de caminho como são definidos aqui exigem a introdução de reguladores. Mudar a escala do regulador leva para o grupo de renormalização. Na verdade, renormalização é o principal obstáculo para tomar integrais de caminho bem definidas.

A formulação em integral de caminho na interpretação da mecânica quântica [editar | editar código-fonte]

Em uma das interpretação da mecânica quântica, a interpretação de "soma sobre histórias", a integral de caminho é tomado com fundamental e a realidade é vista como uma "classe" simples e indistinguível de caminhos que compartilham os mesmos eventos. Para esta interpretação, é crucial entender o que exatamente é um evento. O método de somar sobre histórias fornece resultados idênticos aos da mecânica quântica canônica, e Sinha e Sorkin^[9] reivindicamos que tal interpretação explica o paradoxo de Einstein–Podolsky–Rosen sem recorrer a não-localidade. (Note que a interpretação de Copenhagein reivindica que não há paradoxo—apenas um desleixado materialismo motivado, em questão por parte de um trabalho Joseph Wienberg. Por outro lado, o fato de que o experimento mental do EPR (e seu resultado) representam os resultados experimentais da MQ diz que (apesar da dependência do caminho de paralelo/anti-paralelo na curvatura do espaço) todas as contribuições dos caminhos proximos à buracos negros cancelam a ação para um experimento do estilo EPR na terra.)

Gravidade quântica[editar | editar código-fonte]

Sendo a formulação de integral de caminho, na mecânica quântica, totalmente equivalente a outras formulações, seria possível ser estendida à gravidade quântica, a partir de um modelo do espaço de Hilbert diferente. Feynman teve algum sucesso nesta direção sendo o seu trabalho estendido por Hawking e outros.^[10] As abordagens utilizadas incluem métodos de triangulação dinâmica causal e modelos de spinfoam.

Tunelamento quântico[editar | editar código-fonte]

O tunelamento quântico pode ser modelado pelo uso da formulação de integral de caminho para determinar a ação da trajetória através de uma barreira de potencial. Usando a aproximação WKB, o a taxa de tunelamento (

\Gamma

) pode ser determinado por:

\Gamma =A_{o}\exp(-S_{eff}/\hbar )

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sendo

S_{eff}

a ação efetiva e

A_{o}

um fator multiplicativo. Esta forma é especialmente útil em um sistema dissipativo, onde o sistema e o ambiente deve ser modelada juntos. Usando a equação de Langevin para o modelo de movimento Browniano, o caminho de formação integral que pode ser usado para determinar uma ação eficaz e pré-exponencial modelo para ver o efeito da dissipação no tunelamento .^[11] A partir deste modelo, taxas de tunelamento de sistemas macroscópicos podem ser previstas em temperaturas finitas.